riemann toplamı ne demek?

Riemann toplamı, bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki integralini yaklaşık olarak hesaplamak için kullanılan bir yöntemdir. Temel fikir, integralini hesaplamak istediğimiz aralığı (örneğin, [a, b]) küçük alt aralıklara bölmek ve her bir alt aralıkta fonksiyonun değerini (örneğin, sol uç noktası, sağ uç noktası veya orta nokta) alarak bir dikdörtgenin alanını hesaplamaktır. Daha sonra, bu dikdörtgenlerin alanlarını toplayarak integralin yaklaşık değerini elde ederiz.

Riemann toplamının farklı türleri vardır:

• Sol Riemann Toplamı: Her alt aralıkta fonksiyonun sol uç noktasındaki değerini kullanırız.
• Sağ Riemann Toplamı: Her alt aralıkta fonksiyonun sağ uç noktasındaki değerini kullanırız.
• Orta Nokta Riemann Toplamı: Her alt aralıkta fonksiyonun orta noktasındaki değerini kullanırız.

Alt aralıkların sayısı arttıkça (yani, aralıklar küçüldükçe), Riemann toplamının yaklaşık değeri gerçek integrale daha yakınsar.

Formül:

Bir fonksiyonun f(x), [a, b] aralığındaki Riemann toplamı şu şekilde ifade edilebilir:

∑ f(xᵢ*) Δx

Burada:

• ∑ (sigma) sembolü toplamı ifade eder.
• xᵢ* , i-inci alt aralıktaki örnekleme noktasıdır (sol, sağ veya orta nokta).
• Δx , her bir alt aralığın genişliğidir ve (b - a) / n olarak hesaplanır (n, alt aralıkların sayısıdır).

Önemli Kavramlar:

• İntegral: <a href="https://www.nedemek.page/kavramlar/İntegral">İntegral</a>, bir fonksiyonun eğrisi altında kalan alanı ifade eder. Riemann toplamı, integralin yaklaşık değerini bulmak için kullanılır.
• Limit: <a href="https://www.nedemek.page/kavramlar/Limit">Limit</a>, alt aralıkların sayısı sonsuza giderken Riemann toplamının yaklaştığı değeri ifade eder. Bu limit, integralin gerçek değerini verir.
• Fonksiyon: <a href="https://www.nedemek.page/kavramlar/Fonksiyon">Fonksiyon</a>, bir girdi değeri için bir çıktı değeri üreten matematiksel bir ifadedir.
• Aralık: <a href="https://www.nedemek.page/kavramlar/Aralık">Aralık</a>, sayı doğrusunda iki nokta arasındaki tüm değerleri içeren bir kümedir. Riemann toplamı belirli bir aralıkta hesaplanır.
• Alt Aralık: <a href="https://www.nedemek.page/kavramlar/Alt%20Aralık">Alt Aralık</a>, [a, b] aralığının eşit veya farklı uzunluktaki daha küçük parçalara bölünmüş halidir.

Riemann toplamı, kalkülüsün temel kavramlarından biridir ve integral hesaplamanın temelini oluşturur. Özellikle, sayısal analizde karmaşık integralleri yaklaşık olarak çözmek için yaygın olarak kullanılır.